Chứng minh đại số phép cộng điểm trên đường cong twisted Edwards (tổng quát)

Abstract

Hệ mật RSA đang được thay thế dần bởi hệ
mật dựa trên đường cong elliptic, hiện ở Việt Nam đã có
73 triệu căn cước công dân gắn chip [1] sử dụng chữ ký
số ECDSA (Elliptic Curve Digital Signature Algorithm)
để xác thực định danh công dân, tuy nhiên kể từ năm
2017 đến nay đã có nhiều nghiên cứu về hệ mật dựa trên
đường cong Edwards bởi nó có nhiều ưu điểm hơn hệ
mật elliptic [2], cho đến nay đã có 18 nền tảng Blockhain
sử dựng hệ mật dựa trên đường cong Edwards làm cơ
sở mật mã nguyên thủy [3]. Chứng minh đại số cho
đường cong Edwards đã có trong [4]. Mở rộng nghiên
cứu về đường cong Edwards, Bernstein cùng đồng nghiệp
đã đưa ra một lớp đường cong mới tổng quát hóa dựa
trên đường cong Edward gọi là twisted Edward cho bởi
phương trình ax2 + y2 = 1 + dx2y2 và chứng minh đại
số cho phép cộng bằng lý thuyết hình học xạ ảnh và theo
như hiểu biết của chúng tôi, hiện chưa có chứng minh
đại số phép cộng cho trường hợp tổng quát này. Bài báo
này đưa ra phương pháp chứng minh đại số cho trường
hợp quát đồng thời cũng phát biểu và chứng minh định
lý về tính đồng dạng giữa đường cong Edwards tổng quát
và đường cong elliptic tổng quát dạng Weierstrass